Diffusion Bridge与Flow Matching统一理论

1. 引言

Diffusion Bridge和Flow Matching都是实现两个分布之间转换的生成建模框架¹。尽管它们都表现出色，但：

• 何时应该选择Diffusion Bridge？
• 何时应该选择Flow Matching？
• 两者之间有什么本质区别？

本文从随机最优控制和最优传输两个视角提供统一理论，解答这些问题。

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2. 方法回顾

2.1 Flow Matching

Flow Matching直接回归一个速度场 $v_{\theta }(x,t)$：

$$\frac{d{x}_t}{dt}=v_{\theta }(x_t,t)$$

其中 $x_0\sim p_{\text{data}}$，$x_1\sim \mathcal{N}(0,I)$。

损失函数为：

$${\mathcal{L}}_{\text{FM}}={\mathbb{E}}_{t,x_0,x_1}[\Vert v_{\theta }(x_t,t)-u_t(x_t|x_0,x_1){\Vert }^2]$$

其中 $u_t$ 是条件速度场（通常为线性插值）。

2.2 Diffusion Bridge

Diffusion Bridge使用条件随机微分方程：

$$d{x}_t=b(x_t,t)dt+d{W}_t$$

其中 $x_0\sim p_{\text{data}}$，$x_1\sim p_{\text{prior}}$。

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3. 随机最优控制视角

3.1 形式化

将生成过程视为随机最优控制问题：

$$\underset{v}{\min }\mathbb{E}\left[{\int }_0^{1}c(x_t,v_t)dt\right]$$

其中 $c$ 是成本函数，$v$ 是控制（速度）场。

3.2 关键发现

定理：Diffusion Bridge的成本函数理论上更低，导致更稳定和自然的轨迹。

直觉：Diffusion Bridge通过随机性引入了”探索”，这有助于：

• 避免陷入局部最优
• 保持轨迹的自然性
• 更好地探索数据流形

3.3 对比

方面	Flow Matching	Diffusion Bridge
确定性	完全确定	随机
轨迹形状	插值路径	概率路径
稳定性	可能不稳定	更稳定

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4. 最优传输视角

4.1 Flow Matching的问题

Flow Matching使用线性插值系数 $t$ 和 $1-t$：

$$x_t=(1-t)x_0+t{x}_1$$

问题：当训练数据规模减少时，这种固定插值变得低效。

4.2 最优传输的洞见

最优传输（Optimal Transport, OT）理论告诉我们：

• 最优的插值应该自适应数据分布
• 固定插值无法捕捉数据的几何结构
• Diffusion Bridge通过随机性隐式地实现了自适应

4.3 定理

定理：在训练数据减少的场景下，Diffusion Bridge的样本复杂度更低。

即：需要达到相同性能，Diffusion Bridge需要的训练数据更少。

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5. 统一框架

5.1 框架结构

统一的视角将两种方法都视为条件生成器学习：

$${\mathcal{G}}_{\theta }(x|y)\approx \mathbb{E}[X_t|X_0=y]$$

其中：

• Flow Matching：$\mathbb{E}$ 是确定性期望
• Diffusion Bridge：$\mathbb{E}$ 是随机期望

5.2 统一损失

两种方法可以统一在以下损失框架下：

$$\mathcal{L}={\mathbb{E}}_{x_0,x_1,t}[d({\hat{x}}_t,x_t^{\ast }{)}^2]$$

其中 ${\hat{x}}_t$ 是预测，$x_t^{\ast }$ 是目标（取决于方法）。

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6. 实验验证

6.1 架构设计

使用Latent Transformer作为Diffusion Bridge的主干：

• 编码器：将图像编码到latent空间
• Latent Transformer：学习latent空间中的Diffusion Bridge
• 解码器：重建图像

6.2 任务对比

任务	Flow Matching	Diffusion Bridge	胜者
Image Inpainting	良好	优秀	Bridge
Super-Resolution	优秀	优秀	持平
Deblurring	良好	优秀	Bridge
Denoising	优秀	优秀	持平
Translation	一般	优秀	Bridge
Style Transfer	良好	优秀	Bridge

6.3 数据规模影响

在训练数据规模减少时：

数据比例	Flow Matching	Diffusion Bridge
100%	1.00	1.00
50%	0.95	0.98
25%	0.85	0.95
10%	0.70	0.90

Diffusion Bridge在高难度/低数据场景下优势明显。

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7. 实践指导

7.1 选择指南

选择Flow Matching：

• 训练数据充足
• 计算资源有限
• 需要确定性采样

选择Diffusion Bridge：

• 训练数据有限
• 任务难度高（inpainting、translation等）
• 需要更稳定的轨迹

7.2 混合策略

可以结合两种方法：

1. 初期阶段：使用Diffusion Bridge进行快速探索
2. 后期阶段：切换到Flow Matching进行精细化

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8. 结论

Diffusion Bridge和Flow Matching的统一理论揭示了：

1. 随机最优控制视角：Diffusion Bridge的成本函数更低，轨迹更稳定
2. 最优传输视角：Diffusion Bridge在数据稀缺时更高效
3. 统一框架：两种方法可以形式化为条件生成器学习

实践建议：

• 高数据场景：Flow Matching足够
• 低数据/高难度场景：Diffusion Bridge更优
• 混合策略：结合两者优势

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参考文献

Footnotes

1. “Diffusion Bridge or Flow Matching? A Unifying Framework and Comparative Analysis.” ICLR 2026. https://openreview.net/pdf/264512578ba744f1cb1d39d1ed514232ca8446c6.pdf ↩