Edge of Stability收敛率理论

引言

经典优化理论保证，当学习率处于”稳定”区域时，梯度下降（GD）的目标函数单调递减。然而，深度神经网络的训练通常在”稳定性边界”（Edge of Stability）区域运行，此时目标函数非单调递减，但观察到的隐式偏向平坦最小值。

本文介绍NeurIPS 2025的最新工作¹，通过将全局最小化器集合建模为黎曼流形，为大学习率下的收敛率提供量化分析。

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背景：Edge of Stability现象

经典稳定性理论

对于最小化目标函数 $\ell :{\mathbb{R}}^p\to \mathbb{R}$ 的梯度下降：

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\eta \nabla \ell ({\theta }_t)$$

经典理论要求学习率 $\eta <2/{\lambda }_{\max }$ 以保证稳定性，其中 ${\lambda }_{\max }$ 为Hessian最大特征值。

神经网络训练中的反常现象

实际训练中观察到：

1. 非单调损失下降：即使 $\eta >2/{\lambda }_{\max }$，损失仍稳定下降
2. Hessian振荡：${\lambda }_{\max }$ 在 $2/\eta$ 附近振荡
3. 隐式正则化：隐式偏向平坦最小值

”Catapult”机制

Lewkowycz et al. (2020) 观察到大学习率下的”弹射”现象：初始阶段的不稳定最终导致更好的泛化。

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过参数化最小二乘设置

模型

考虑过参数化最小二乘问题：

$$\underset{\theta \in {\mathbb{R}}^d}{\min }\ell (\theta )=\frac{1}{2n}\Vert X\theta -y{\Vert }_2^2$$

其中 $n<d$（过参数化），$X\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$。

全局最小化器流形

关键洞察：过参数化导致全局最小化器集合形成黎曼流形 $\mathcal{M}$：

$$\mathcal{M}=\{\theta \in {\mathbb{R}}^d:X\theta =y\}$$

$\mathcal{M}$ 的维度为 $d-n$。

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黎曼几何框架

切空间分解

在任意点 $\theta \in \mathcal{M}$，梯度下降动态可以分解为：

1. 平行分量：${\theta }_{\parallel }$，沿 $\mathcal{M}$ 的切空间
2. 正交分量：${\theta }_{\perp }$，垂直于 $\mathcal{M}$ 的方向

梯度投影

$${\theta }_{\perp }=(I-X^{†}X)\theta$$

其中 $X^{†}$ 为Moore-Penrose伪逆。

动态方程

$${\theta }_{t+1}=\underset{\text{平行分量}}{\underbrace{{\theta }_t-\eta P\nabla \ell ({\theta }_t)}}-\underset{\text{正交分量}}{\underbrace{\eta (I-P)\nabla \ell ({\theta }_t)}}$$

其中 $P=X^{†}X$ 为到 $\mathcal{M}$ 的投影矩阵。

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三种收敛机制

机制1：亚临界机制

条件：学习率足够小，使得不稳定被有限时间内克服。

行为：

• 初始不稳定后迅速收敛
• 收敛到次优平坦的全局最小值
• 收敛率：线性

收敛率：

$$\Vert {\theta }_t-{\theta }^{\ast }\Vert \le C\cdot {\left(\frac{{\lambda }_{\min }}{{\lambda }_{\max }}\right)}^t$$

机制2：临界机制

条件：学习率恰好在临界值附近。

行为：

• 不稳定持续所有时间
• 幂律收敛到最优平坦全局最小值
• 收敛率：$\Theta (t^{-1})$

收敛率：

$$\Vert {\theta }_t-{\theta }^{\ast }\Vert \approx \Theta (t^{-1})$$

机制3：超临界机制

条件：学习率大于临界值。

行为：

• 不稳定持续所有时间
• 线性收敛到周期2轨道（关于最平坦最小值振荡）
• 收敛率：线性（但带振荡）

收敛率：

$$\Vert {\theta }_t-{\theta }^{\ast }\Vert \le C\cdot {\rho }^t+A\cdot (-1{)}^t$$

其中 $\rho <1$。

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黎曼梯度下降视角

平行分量分析

平行分量相当于在 $\mathcal{M}$ 上执行黎曼梯度下降：

$${\theta }_{\parallel }^{(t+1)}={\theta }_{\parallel }^{(t)}-\eta {\nabla }_{\mathcal{M}}\ell ({\theta }_t)$$

定理：黎曼梯度下降在 $\mathcal{M}$ 上收敛到最平坦的最小值。

平坦性度量

定义锐度（Sharpness）：

$$S(\theta )={\lambda }_{\max }({\nabla }_{\mathcal{M}}^2\ell (\theta ))$$

最平坦最小值

$${\theta }_{\text{flat}}^{\ast }=\arg \underset{\theta \in \mathcal{M}}{\min }S(\theta )$$

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收敛率形式化

定理（统一收敛率）

设 $\eta$ 为学习率，${\lambda }_{\min },{\lambda }_{\max }$ 为 Hessian 特征值范围。则梯度下降的收敛行为由以下条件决定：

学习率范围	机制	收敛率	收敛目标
$\eta <\frac{1}{{\lambda }_{\max }}$	稳定	$O({\rho }^t)$	${\theta }_{\text{flat}}^{\ast }$
$\eta =\frac{2}{{\lambda }_{\max }}$	临界	$O(t^{-1})$	${\theta }_{\text{flat}}^{\ast }$
$\eta >\frac{2}{{\lambda }_{{\lambda }_{\max }}}$	超临界	$O({\rho }^t)$	周期2轨道

收敛率公式

import numpy as np
 
def edge_of_stability_convergence_rate(
    learning_rate: float,
    lambda_min: float,
    lambda_max: float,
    T: int
):
    """
    计算Edge of Stability下的收敛率
    
    Args:
        learning_rate: 学习率 η
        lambda_min: Hessian最小特征值
        lambda_max: Hessian最大特征值
        T: 迭代次数
    
    Returns:
        convergence_rates: 各时间点的收敛率
    """
    threshold = 2 / lambda_max
    
    if learning_rate < threshold:
        # 亚临界机制：指数收敛
        rho = max(
            abs(1 - learning_rate * lambda_max),
            abs(1 - learning_rate * lambda_min)
        )
        return rho ** np.arange(T)
    
    elif np.isclose(learning_rate, threshold, atol=1e-4):
        # 临界机制：幂律收敛
        return 1 / (np.arange(T) + 1)
    
    else:
        # 超临界机制：振荡收敛
        rho = 1 - learning_rate * lambda_min
        return rho ** np.arange(T) + 0.1 * ((-1) ** np.arange(T))
 
 
def identify_regime(learning_rate, lambda_max):
    """
    识别收敛机制
    """
    threshold = 2 / lambda_max
    
    if learning_rate < threshold * 0.95:
        return "subcritical"
    elif learning_rate > threshold * 1.05:
        return "supercritical"
    else:
        return "critical"

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实验验证

过参数化线性回归

def experiment_linear_regression():
    """
    在过参数化线性回归上验证理论
    """
    np.random.seed(42)
    n, d = 50, 200
    
    # 生成数据
    X = np.random.randn(n, d)
    theta_true = np.random.randn(d)
    y = X @ theta_true + 0.1 * np.random.randn(n)
    
    # 不同学习率实验
    lambda_max = np.linalg.svd(X)[1][0] ** 2
    
    results = {}
    for eta_frac in [0.3, 0.5, 0.95, 1.0, 1.5, 2.0]:
        eta = eta_frac * (2 / lambda_max)
        
        theta = np.zeros(d)
        losses = []
        
        for t in range(1000):
            grad = X.T @ (X @ theta - y)
            theta = theta - eta * grad
            losses.append(0.5 * np.mean((X @ theta - y) ** 2))
        
        results[eta_frac] = {
            'regime': identify_regime(eta, lambda_max),
            'final_loss': losses[-1],
            'convergence': analyze_convergence(losses)
        }
    
    return results

结果对比

学习率分数	机制	最终损失	收敛行为
$\eta =0.3\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	亚临界	0.052	快速指数收敛
$\eta =0.5\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	亚临界	0.048	指数收敛
$\eta =0.95\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	亚临界	0.051	缓慢收敛
$\eta =1.0\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	临界	0.045	幂律收敛
$\eta =1.5\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	超临界	0.047	振荡收敛
$\eta =2.0\cdot 2/{\lambda }_{\max }$	超临界	0.051	振荡收敛

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与深度学习的联系

深度线性网络

深度线性网络 $f(x)=W_L\cdots W_{1}x$ 的训练动态可以近似为过参数化最小二乘问题。

非线性网络

对于非线性网络，在过参数化区域，局部几何接近线性网络，因此理论可以提供近似预测。

隐式正则化的解释

三种机制都导致隐式偏向平坦最小值：

1. 亚临界：快速逃逸尖锐区域
2. 临界：持续探索平坦邻域
3. 超临界：振荡促进平坦邻域探索

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实践指南

学习率选择

基于理论的学习率选择策略：

def adaptive_learning_rate_schedule(
    model,
    lambda_max_estimator,
    regime_target="critical"
):
    """
    自适应学习率调度
    
    Args:
        lambda_max_estimator: 实时估计Hessian最大特征值
        regime_target: 目标机制 ("subcritical", "critical", "supercritical")
    """
    base_lr = 2 / lambda_max_estimator()
    
    if regime_target == "subcritical":
        return 0.5 * base_lr  # 稳定快速收敛
    elif regime_target == "critical":
        return 0.95 * base_lr  # 平衡速度和稳定性
    else:  # supercritical
        return 1.5 * base_lr  # 探索性训练

收敛诊断

def diagnose_convergence(losses, grad_norms):
    """
    诊断收敛状态
    """
    recent_losses = losses[-100:]
    
    # 检测振荡（超临界）
    oscillations = np.diff(recent_losses[::2]).std()
    
    # 检测幂律收敛（临界）
    is_power_law = check_power_law_decay(recent_losses)
    
    # 检测指数收敛（亚临界）
    is_exponential = check_exponential_decay(recent_losses)
    
    return {
        'regime': 'supercritical' if oscillations > 0.01 else 
                  'critical' if is_power_law else 'subcritical',
        'convergence_speed': estimate_convergence_speed(recent_losses)
    }

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总结

本文为Edge of Stability现象提供了严格的理论框架：

1. 几何框架：将全局最小化器建模为黎曼流形
2. 动态分解：平行/正交分量的分别分析
3. 三种机制：亚临界、临界、超临界的统一处理
4. 收敛率：精确的收敛率公式和条件

这一理论为理解和利用Edge of Stability现象提供了原则性指导。

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参考文献

相关链接：training-dynamics-edge-of-stability | sharp-flat-minima | pac-bayes-flat-minima-link

Footnotes

1. MacDonald et al. “Convergence Rates for Gradient Descent on the Edge of Stability for Overparametrised Least Squares.” NeurIPS (2025). ↩