PINNs在计算流体力学中的应用

物理信息神经网络（PINNs）在计算流体力学（CFD）领域展现了独特的优势：无需生成大规模训练数据集，仅通过物理方程作为约束即可进行流场求解。本章详细介绍PINNs在流体模拟中的理论基础、方法论和实践技巧。

1. Navier-Stokes方程的PINNs formulation

1.1 不可压缩Navier-Stokes方程

对于二维不可压缩流动，Navier-Stokes方程为：

$$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho }\nabla p+\nu {\nabla }^2\mathbf{u}+\mathbf{f}$$ $$\nabla \cdot \mathbf{u}=0$$

其中 $\mathbf{u}=(u,v)$ 是速度场，$p$ 是压力，$\rho$ 是密度，$\nu$ 是运动粘度，$\mathbf{f}$ 是外力。

PINNs通过神经网络逼近解：

$${\mathbf{u}}_{\theta }(t,x,y)\approx \mathbf{u}(t,x,y),p_{\theta }(t,x,y)\approx p(t,x,y)$$

1.2 损失函数构造

总损失函数由多部分组成：

$$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{NS}+{\mathcal{L}}_{ic}+{\mathcal{L}}_{bc}+{\mathcal{L}}_{data}$$

NS残差损失：

$${\mathcal{L}}_{NS}=\frac{1}{N_{coll}}\sum _{i=1}^{N_{coll}}\left(\Vert {\mathbf{r}}_{NS}({\mathbf{x}}_i){\Vert }^2+\Vert r_{div}({\mathbf{x}}_i){\Vert }^2\right)$$

其中 ${\mathbf{r}}_{NS}$ 是动量方程残差，$r_{div}$ 是不可压缩性约束（散度损失）。

初始条件损失：

$${\mathcal{L}}_{ic}=\frac{1}{N_{ic}}\sum _{i=1}^{N_{ic}}\Vert {\mathbf{u}}_{\theta }(0,{\mathbf{x}}_i)-{\mathbf{u}}_0({\mathbf{x}}_i){\Vert }^2$$

边界条件损失：

$${\mathcal{L}}_{bc}=\frac{1}{N_{bc}}\sum _{i=1}^{N_{bc}}\Vert {\mathbf{u}}_{\theta }(t_b,{\mathbf{x}}_b)-\mathbf{g}({\mathbf{x}}_b){\Vert }^2$$

1.3 压力场处理技巧

压力没有时间导数项，梯度的反向传播可能不稳定。常用方法：

1. 直接预测压力：将压力作为额外输出
2. Poisson方程求解：从速度场导出压力
3. 压力投影法：与传统的Projection方法结合

class PINN_CFD(nn.Module):
    def __init__(self, layers, nu):
        super().__init__()
        self.nu = nu
        # 速度网络
        self.u_net = NeuralNetwork(layers[:-1] + [1])
        self.v_net = NeuralNetwork(layers[:-1] + [1])
        # 压力网络
        self.p_net = NeuralNetwork(layers[:-1] + [1])
    
    def forward(self, t, x, y):
        # 预测速度场
        u = self.u_net(torch.cat([t, x, y], dim=1))
        v = self.v_net(torch.cat([t, x, y], dim=1))
        p = self.p_net(torch.cat([t, x, y], dim=1))
        return u, v, p
    
    def compute_residuals(self, t, x, y):
        u, v, p = self.forward(t, x, y)
        
        # 自动微分计算
        u_t = torch.autograd.grad(u, t, grad_outputs=torch.ones_like(u))[0]
        u_x = torch.autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u))[0]
        # ... 其他偏导数
        
        # NS方程残差
        r_u = u_t + u*u_x + v*u_y + p_x - self.nu*(u_xx + u_yy)
        r_v = v_t + u*v_x + v*v_y + p_y - self.nu*(v_xx + v_yy)
        r_div = u_x + v_y
        
        return r_u, r_v, r_div

2. 边界条件处理

2.1 无滑移边界条件

固体壁面处速度为零：

$$\mathbf{u}{|}_{\partial \Omega }=0$$

实现方式：在边界点强制约束损失

def boundary_enforcement(x, y, boundary_type):
    """边界条件强制"""
    if boundary_type == "no_slip":
        # 无滑移：速度为零
        return 0.0, 0.0
    elif boundary_type == "slip":
        # 滑移：法向速度为零
        normal = compute_normal(x, y)
        return torch.dot(velocity, normal), tangential_velocity
    elif boundary_type == "periodic":
        # 周期性边界
        return None  # 需要特殊处理

2.2 周期性边界条件

周期性边界在通道流中常见。关键技巧：

1. 网络架构不变：不引入周期性假设到网络中
2. 训练数据覆盖完整周期：¹
3. 损失函数无额外项：边界点处的损失自然满足

2.3 入口/出口边界条件

对于开放边界，常见处理方法：

• 速度入口：指定速度分布（如Poiseuille流）
• 压力出口：自由流出条件
• 无反射边界：减少人为反射

3. 湍流建模与PINNs

3.1 湍流的挑战

直接数值模拟（DNS）计算量极大，大涡模拟（LES）也需要精细网格。PINNs提供了一种数据高效的方法。

3.2 RANS-PINNs

将雷诺平均N-S方程（RANS）与PINNs结合：

$$\frac{\partial {\bar{u}}_i}{\partial t}+{\bar{u}}_j\frac{\partial {\bar{u}}_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i}+\nu \frac{{\partial }^2{\bar{u}}_i}{\partial x_j^2}-\frac{\partial {\tau }_{ij}}{\partial x_j}$$

湍流应力 ${\tau }_{ij}$ 通过神经网络建模：

$${\tau }_{ij}=-2{\nu }_t{\bar{S}}_{ij}+f_{\theta }(\mathbf{x},t)$$

其中 $f_{\theta }$ 是可学习的湍流修正项。²

3.3 LES-PINNs

大涡模拟只过滤大尺度涡，小尺度涡通过亚网格模型建模：

$${\mathcal{L}}_{LES}={\mathcal{L}}_{NS}+{\mathcal{L}}_{SGS}$$

亚网格应力模型：

$${\tau }_{ij}^{SGS}=-2{\nu }_{SGS}{\bar{S}}_{ij},{\nu }_{SGS}=C_k\Delta \sqrt{k_{SGS}}$$

PINNs可学习 ${\nu }_{SGS}(\mathbf{x},t)$ 空间分布。

4. 多尺度问题与时间依赖

4.1 时间多尺度

流体问题通常涉及多个时间尺度：

1. 对流时间尺度：$T_c=L/U$
2. 扩散时间尺度：$T_d=L^2/\nu$
3. 湍流时间尺度：$T_t=L/u^{\prime }$

自适应时间采样策略：

def adaptive_time_sampling(t_range, difficulty):
    """自适应时间采样"""
    if difficulty == "multi_scale":
        # 多尺度问题：密集采样多个时间点
        t1 = torch.linspace(0, 0.1, 50)   # 早期
        t2 = torch.linspace(0.1, 1.0, 30)  # 中期
        t3 = torch.linspace(1.0, t_range, 20)  # 稳态
        return torch.cat([t1, t2, t3])
    else:
        return torch.linspace(0, t_range, 100)

4.2 空间多尺度

复杂几何流动涉及边界层、剪切层等不同空间尺度：

1. 局部增强：在高梯度区域增加采样点
2. 自适应网络：使用自适应激活函数或网络架构
3. 多网络方法：不同尺度使用不同网络

4.3 重整化群方法

将湍流的多尺度特性编码到PINNs中：

$${\mathbf{u}}_{\theta }=\bar{\mathbf{u}}+{\mathbf{u}}^{\prime }$$

损失函数包含多尺度约束：

$${\mathcal{L}}_{multi-scale}=\sum _{k=1}^K{w}_k\Vert {\mathcal{P}}_k[{\mathbf{u}}_{\theta }]-{\mathcal{P}}_k[{\mathbf{u}}_{true}]{\Vert }^2$$

5. 典型应用案例

5.1 圆柱绕流

二维圆柱绕流是经典CFD benchmark：

• Reynolds数范围：Re = 100 ~ 10000
• 现象：层流分离、卡门涡街、过渡湍流
• PINNs优势：无需网格生成，处理复杂几何

5.2 顶盖驱动腔流

方腔内流体的顶盖驱动运动：

• 几何：2D方形腔体
• 边界条件：顶部边界速度给定的Dirichlet条件
• 验证数据：Gelfgat benchmark

5.3 通道流

周期性管道/通道流动：

• 精确解：Poiseuille流
• 应用：验证PINNs框架
• 可扩展：加入粗糙壁面、弯曲等复杂因素

6. 挑战与前沿方向

6.1 高Reynolds数问题

高Re流动的边界层极薄，对PINNs精度要求高：

1. 区域分解：边界层内使用高分辨率
2. 渐近增强：引入边界层渐近解
3. 对齐坐标：使用边界层坐标变换

6.2 数值稳定性

长时间积分的数值发散问题：

1. 软约束vs硬约束：硬边界条件更稳定
2. 学习率调度：adaptive learning rate
3. 残差缩放：避免损失函数的数值级差异

6.3 前沿进展

• Physics-informed Transformer：处理更大规模问题
• Neural Navier-Stokes Solver：端到端流场预测
• Adaptive PINNs：自动识别物理困难区域³

参考文献

Footnotes

1. Raissi, M., Perdikaris, P., & Karniadakis, G. E. (2019). Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics. ↩

2. Duraisamy, K., Iacca, G., & Mendez, M. A. (2019). Perspectives on machine learning-augmented Reynolds-averaged and large eddy simulation models of turbulence. arXiv preprint. ↩

3. Jagtap, A. D., Kawaguchi, K., & Karniadakis, G. E. (2020). Adaptive activation functions accelerate convergence in deep and physics-informed neural networks. Journal of Computational Physics. ↩