三大抽样分布 (The Three Sampling Distributions)

三大抽样分布——卡方分布、$t$ 分布和 $F$ 分布——均基于正态总体衍生而来，是参数估计和假设检验的理论工具。

卡方分布（Chi-Square Distribution）

定义

设 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ 为独立同分布的标准正态随机变量 $N(0,1)$，则：

$${\chi }^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_n^2\sim {\chi }^2(n)$$

服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作 ${\chi }^2(n)$。

概率密度函数

${\chi }^2(n)$ 分布的概率密度函数为：

$$f(x;n)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},x>0$$

其中 $\Gamma (\cdot )$ 为 Gamma 函数。

图像特征

• 定义域：$x>0$（右偏分布）
• 形状：随自由度 $n$ 增大，分布趋于正态
• $n=1$ 时为标准正态平方，密度在原点附近奇异
• $n\ge 3$ 时，密度函数先增后减，在 $x=n-2$ 处取得峰值

可加性

若 $X\sim {\chi }^2(m)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且独立，则：

$$X+Y\sim {\chi }^2(m+n)$$

与样本均值、样本方差的关系

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，则：

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

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$t$ 分布（Student’s $t$ Distribution）

定义

设 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim {\chi }^2(n)$，且 $Z$ 与 $U$ 独立，则：

$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\sim t(n)$$

服从自由度为 $n$ 的学生 $t$ 分布，记作 $t(n)$。

概率密度函数

$$f(t;n)=\frac{\Gamma ((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi }\Gamma (n/2)}{\left(1+\frac{t^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2},t\in \mathbb{R}$$

图像特征

• 对称性：关于 $t=0$ 对称（与标准正态类似）
• 尾部：比正态分布更厚（“重尾”）
• 当 $n\to \infty$ 时，$t(n)\to N(0,1)$
• $n=1$ 时为柯西分布

与样本均值的关系

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，则：

$$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

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$F$ 分布（Fisher-Snedecor Distribution）

定义

设 $U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$，且 $U$ 与 $V$ 独立，则：

$$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$$

服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记作 $F(n_1,n_2)$。

概率密度函数

$$f(x;n_1,n_2)=\frac{\sqrt{\frac{(n_{1}x{)}^{n_1}{n}_2^{n_2}}{(n_{1}x+n_2{)}^{n_1+n_2}}}}{x\cdot B(n_1/2,n_2/2)},x>0$$

其中 $B(\cdot ,\cdot )$ 为 Beta 函数。

图像特征

• 定义域：$x>0$（右偏分布）
• 峰值：随 $n_1,n_2$ 增大，分布趋于对称
• 当 $n_2>2$ 时，密度函数先增后减

与两个样本方差的关系

设 $X_1,\dots ,X_{n_1}\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,\dots ,Y_{n_2}\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，两个样本独立，样本方差分别为 $S_1^2$、$S_2^2$，则：

$$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

$F$ 分布的分位数关系

若 $F\sim F(n_1,n_2)$，则：

$$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$

这一性质常用于置信区间和假设检验。

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分位数表

三大抽样分布的分位数表是统计推断的重要工具，常见的表格形式包括：

分布	常用分位数	应用场景
${\chi }^2(n)$	${\chi }_{\alpha }^2(n)$	方差估计、拟合优度检验
$t(n)$	$t_{\alpha /2}(n)$	均值置信区间、$t$ 检验
$F(n_1,n_2)$	$F_{\alpha }(n_1,n_2)$	方差齐性检验、方差分析

实际使用：现在通常使用统计软件（如 R、Python scipy）直接计算分位数，已较少依赖纸质分位数表。

三大分布的联系

标准正态 Z ~ N(0,1)
    │
    ├── Z² ──────────────────→ χ²(n)
    │                              │
    │                              │
    └── Z / √(χ²(n)/n) ──────────→ t(n)
    │                              │
    │                              │
χ²(n₁)/n₁ ─┐                       │
           ├─→ (χ²(n₁)/n₁)/(χ²(n₂)/n₂) → F(n₁, n₂)
χ²(n₂)/n₂ ─┘

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