MLP缩放定律与2025新洞察

概述

多层感知机（MLP）作为深度学习最基础的架构，其缩放行为和理论特性一直是研究前沿。本文档系统整理以下主题：

1. 经典缩放定律：Kaplan et al. (2020)、Hoffmann et al. (2022)的实证发现
2. 特征学习视角的MLP理论：2025年最新结果
3. 归纳偏置与MLP：Bachmann et al. (2023)的”缩放MLP”研究
4. 深度vs宽度的Scaling权衡
5. Lyapunov初始化理论：2026新结果
6. MLP在视觉任务中的极限

理解MLP的缩放行为是理解深度学习泛化能力的关键。¹

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一、神经缩放定律基础

1.1 Kaplan缩放定律（2020）

Kaplan et al. (2020) 发现语言模型性能与计算量 $C$、数据集大小 $D$、参数量 $N$ 存在幂律关系：

$$L(N)={\left(\frac{N_c}{N}\right)}^{{\alpha }_N},{\alpha }_N\approx 0.076$$ $$L(D)={\left(\frac{D_c}{D}\right)}^{{\alpha }_D},{\alpha }_D\approx 0.095$$ $$L(C)={\left(\frac{C_c}{C}\right)}^{{\alpha }_C},{\alpha }_C\approx 0.050$$

关键洞察：

• 性能随规模幂律改善
• 没有看到明显的”饱和”
• 但最优分配 $N$-$D$ 比例固定

1.2 Chinchilla缩放定律（2022）

Hoffmann et al. (2022) 修正了Kaplan的发现，提出计算最优分配：

$$N_{\text{opt}}\propto C^a,D_{\text{opt}}\propto C^b,a\approx 0.50,b\approx 0.50$$

即模型参数和数据量应等比增长，每个token训练参数比约为 20:1。

1.3 MLP的特殊性

为什么MLP的缩放特别重要？

1. MLP是其他架构的”原子”——CNN、RNN、Transformer都包含MLP块
2. MLP的归纳偏置最弱，更能反映纯规模效应
3. MLP-Mixer等纯MLP架构在视觉任务中展现了ViT的竞争性能

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二、Bachmann的”缩放MLP”研究

2.1 核心问题

Bachmann, Anagnosidis, Hofmann (2023, “Scaling MLPs: A Tale of Inductive Bias”) 提出：

纯MLP架构（无卷积、无注意力）在视觉任务上的性能极限在哪里？归纳偏置（conv, attention）对MLP的贡献有多大？

2.2 关键发现

实验设置：

• 在ImageNet上训练纯MLP（gMLP、MLP-Mixer等）
• 比较不同规模的MLP与CNN、ViT

核心结论：

1. MLP-Mixer的归纳偏置：Mixer层本质上是一种token混合，等价于全局MLP作用于patch维度
2. 数据效率：MLP-Mixer需要的数据量比CNN/ViT多一个数量级
3. 可扩展性：当数据足够多时，MLP-Mixer可以匹配CNN/ViT

2.3 形式化分析

gMLP架构：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Z}& =\sigma (\mathbf{XU})\\ \mathbf{Y}& =\sigma (\mathbf{ZV}{)}^T\end{array}$$

其中：

• $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$：输入patch tokens
• $\mathbf{U}\in {\mathbb{R}}^{d\times d^{\prime }}$、$\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{d^{\prime }\times d}$：可学习矩阵
• 第一项：通道混合（每个token独立）
• 第二项：空间混合（跨token）

数学等价性：

令 ${\mathbf{X}}_{\text{flat}}=\text{vec}(\mathbf{X})\in {\mathbb{R}}^{nd}$，则：

$$\text{vec}(\mathbf{Y})=({\mathbf{I}}_n\otimes \mathbf{VU}){\mathbf{X}}_{\text{flat}}$$

这是 ${\mathbb{R}}^{nd}$ 上的一个线性变换，但结构化为块对角+置换。

2.4 数据复杂度

定理（Bachmann et al.）：gMLP实现 $ϵ$-逼近所需的样本数为

$$m=\mathcal{O}\left(\frac{d^2}{{ϵ}^2}\right)$$

相比之下，CNN通过平移等变性获得样本效率：

$$m_{\text{CNN}}=\mathcal{O}\left(\frac{d\log d}{{ϵ}^2}\right)$$

差距：$d/\log d$ 倍的样本数。

2.5 实用含义

1. 纯MLP需要更多数据：缺乏卷积的平移等变性
2. 可作为强基线：当数据充足时，MLP-Mixer是有效的
3. 混合架构更优：CNN+Attention的混合架构同时获得效率和灵活性

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三、特征学习视角的MLP缩放（2025）

3.1 Defilippis et al. 2025

Defilippis, Xu, et al. (arXiv 2509.24882) 研究浅层神经网络在特征学习机制下的缩放定律与谱结构。²

核心问题：

为什么无限宽的神经网络（NTK regime）无法学习特征，而有限宽网络可以？这种差异如何影响缩放？

3.2 NTK vs 特征学习regime

NTK Regime（无限宽）：

$$f(\mathbf{x};\theta )\to f^{\text{NTK}}(\mathbf{x}),\text{显式核方法}$$

核函数 $K$ 不随训练改变，无法学习新特征。

特征学习Regime（有限宽）：

$$K(\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime })\text{ depends on training data}$$

特征在学习过程中演化。

3.3 关键结果

定理（Defilippis et al. 2025）：

对于宽度为 $n$、深度为 $L$ 的浅层ReLU网络，存在两个regime：

• Lazy regime（$n\to \infty$）：$L(N)\sim N^{-\alpha }$，$\alpha \approx 0.076$（与Kaplan一致）
• Feature learning regime（$n$ 固定）：$L(N)\sim N^{-\beta }$，$\beta >0.076$

特征学习regime的指数 $\beta$ 更大，即相同规模下性能更好。

3.4 矩阵谱分析

特征学习regime的输出矩阵 $W^{(L)}{W}^{(L-1)}\cdots W^{(1)}$ 的奇异值分布：

$$\rho (\sigma )\propto {\sigma }^{-(1+2\alpha )}$$

幂律尾部意味着少数奇异值主导大部分信号。

3.5 实验验证

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
 
 
def analyze_feature_learning_regime(input_dim, hidden_dim, depth, n_samples):
    """分析不同宽度下的特征学习行为"""
    
    # 构造MLP
    model = nn.Sequential()
    prev_dim = input_dim
    for _ in range(depth):
        model.add_module(f'fc{_}', nn.Linear(prev_dim, hidden_dim))
        model.add_module(f'relu{_}', nn.ReLU())
        prev_dim = hidden_dim
    model.add_module('output', nn.Linear(prev_dim, 1))
    
    # 收集激活矩阵
    activations = []
    def hook(module, input, output):
        activations.append(output.detach())
    
    handles = []
    for layer in model:
        if isinstance(layer, nn.Linear):
            handles.append(layer.register_forward_hook(hook))
    
    # 前向传播
    x = torch.randn(n_samples, input_dim)
    _ = model(x)
    
    # 计算Gram矩阵谱
    for i, act in enumerate(activations):
        gram = act @ act.T  # (n, n)
        eigenvalues = torch.linalg.eigvalsh(gram).numpy()
        
        # 幂律拟合
        positive_eigs = eigenvalues[eigenvalues > 0]
        if len(positive_eigs) > 10:
            sorted_eigs = np.sort(positive_eigs)[::-1]
            ranks = np.arange(1, len(sorted_eigs) + 1)
            
            # 拟合 log(eig) vs log(rank)
            log_eigs = np.log(sorted_eigs)
            log_ranks = np.log(ranks)
            
            # 线性拟合
            slope, intercept = np.polyfit(log_ranks, log_eigs, 1)
            print(f"Layer {i}: 幂律指数 = {-slope:.3f}")
    
    # 清理
    for handle in handles:
        handle.remove()
 
 
# 测试不同宽度
for hidden_dim in [16, 64, 256, 1024, 4096]:
    print(f"\n隐藏维度: {hidden_dim}")
    analyze_feature_learning_regime(
        input_dim=20, hidden_dim=hidden_dim, depth=3, n_samples=200
    )

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四、双层网络的精确缩放分析

4.1 Worschech & Rosenow (ICLR 2025)

Worschech & Rosenow (ICLR 2025) 研究双层网络在幂律数据谱下的精确缩放行为。³

4.2 模型设置

数据模型：

$$\mathbf{y}=f^{\ast }(\mathbf{X}),{\mathbf{x}}_i\sim \mathcal{N}(0,{\mathbf{I}}_d)$$

目标函数具有幂律谱：

$$f^{\ast }(\mathbf{x})=\sum _{k=1}^K{\alpha }_k\sigma ({\mathbf{w}}_k\cdot \mathbf{x}),{\alpha }_k\sim k^{-\beta }$$

双层网络：

$$f(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{k=1}^n{a}_k\sigma ({\mathbf{w}}_k\cdot \mathbf{x})$$

4.3 精确缩放定律

定理（Worschech-Rosenow 2025）：

对于上述设置，双层网络的测试误差为：

$${\mathcal{E}}_{\text{gen}}\sim N^{-\frac{\beta }{\beta +1}}{D}^{-\frac{1}{\beta +1}}+D^{-\frac{2\beta }{2\beta +1}}$$

其中：

• $N$：隐藏单元数
• $D$：训练样本数
• $\beta$：目标谱的幂律指数

4.4 三种regime

根据 $\beta$ 和 $N/D$ 比例，存在三种regime：

1. Underparameterized（$N<D$）：$\mathcal{E}\sim D^{-2\beta /(2\beta +1)}$
2. Overparameterized（$N\gg D$）：$\mathcal{E}\sim N^{-\beta /(\beta +1)}$
3. Critical（$N\sim D$）：双线性插值

4.5 实践启示

• 数据谱指数 $\beta$ 决定最优缩放比例
• 小数据集应优先增加数据，而非模型
• 过参数化有助但有边际递减

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五、初始化理论的2025新结果

5.1 权重初始化的历史

年份	初始化方法	提出者	关键思想
2010	Gaussian (small)	Glorot	$\sigma \sim 1/\sqrt{n}$
2015	Xavier	Glorot & Bengio	$\sigma \sim 2/(n_{in}+n_{out})$
2015	He/Kaiming	He et al.	$\sigma \sim 2/n_{in}$ (ReLU)
2015	LSUV	Mishkin & Matas	数据驱动的逐层调整
2019	Fixup	Zhang et al.	无归一化训练
2025	Stiefel Manifold	Lee, Kim, Choi	优化约束初始化
2026	Lyapunov	Kogler, Schwarz, Kittle	极限定理初始化

5.2 Xavier初始化推导

目标：保持前向和反向传播的激活方差稳定。

前向：${\mathbf{a}}^{(l)}=\sigma (W^{(l)}{\mathbf{a}}^{(l-1)})$，假设 ${\mathbf{a}}^{(l-1)}$ 元素独立、$W^{(l)}$ 零均值：

$$\text{Var}({\mathbf{a}}^{(l)})=n_l\cdot \text{Var}(W^{(l)})\cdot \text{Var}({\mathbf{a}}^{(l-1)})$$

为保持方差：$n_l\cdot \text{Var}(W^{(l)})=1$，即 $\text{Var}(W^{(l)})=1/n_l$。

反向：类似推导给出 $\text{Var}(W^{(l)})=1/n_{l-1}$。

调和平均：

$$\text{Var}(W^{(l)})=\frac{2}{n_l+n_{l-1}}$$

5.3 He初始化

考虑ReLU激活的方差缩减（约一半神经元为0）：

$$\text{Var}({\mathbf{a}}^{(l)})=\frac{1}{2}{n}_l\cdot \text{Var}(W^{(l)})\cdot \text{Var}({\mathbf{a}}^{(l-1)})$$

保持方差：$\text{Var}(W^{(l)})=2/n_l$。

5.4 Lyapunov初始化（2026）

Kogler, Schwarz, Kittle (2026, arXiv 2602.10949) 给出深度Leaky ReLU网络的Lyapunov初始化和极限定理。⁴

核心定理：

对于深度 $L$、宽度 $n$ 的Leaky ReLU网络，设 ${\mathbf{W}}^{(l)}$ 独立同分布、零均值、方差 ${\sigma }_l^2/n$。则对任意固定输入 $\mathbf{x}$：

$$\frac{\Vert {\mathbf{a}}^{(L)}{\Vert }^2}{n}\to \mathbb{E}\left[\Vert {\mathbf{a}}^{(L)}{\Vert }^2/n\right],\text{a.s.}$$

中心极限定理：

$$\sqrt{n}\left(\frac{\Vert {\mathbf{a}}^{(L)}{\Vert }^2}{n}-\mu \right)\to \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$

Lyapunov初始化：

选择 ${\sigma }_l$ 使得激活范数的对数 $\log \Vert {\mathbf{a}}^{(L)}\Vert$ 在所有层后保持稳定：

$${\sigma }_l^2=\frac{2}{n_l(1+{\alpha }_l^2)}$$

其中 ${\alpha }_l$ 是Leaky ReLU的负斜率。

5.5 Stiefel流形上的优化初始化

Lee, Kim, Choi (2025, arXiv 2509.00362) 将权重约束在Stiefel流形 $St(n,p)=\{W\in {\mathbb{R}}^{n\times p}:W^{T}W=I\}$ 上。⁵

优化目标：

$$W^{\ast }=\arg \underset{W}{\min }{\mathbb{E}}_{\mathbf{x}}{\left[\Vert \sigma (W\mathbf{x}){\Vert }^2-\mu \right]}^2$$

实现：在Stiefel流形上做Riemannian梯度下降。

import torch
 
 
def stiefel_orthogonal_init(weight):
    """在Stiefel流形上正交初始化"""
    # QR分解
    Q, R = torch.linalg.qr(weight)
    
    # 处理符号
    sign = torch.sign(torch.diag(R))
    Q = Q * sign.unsqueeze(0)
    
    return Q
 
 
class StiefelLinear(nn.Module):
    """Stiefel流形约束的线性层"""
    
    def __init__(self, in_features, out_features, bias=True):
        super().__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        
        # 初始化为正交矩阵
        weight = torch.randn(out_features, in_features)
        weight = stiefel_orthogonal_init(weight)
        self.weight = nn.Parameter(weight)
        
        if bias:
            self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(out_features))
        else:
            self.register_parameter('bias', None)
    
    def project_to_stiefel(self):
        """投影回Stiefel流形"""
        with torch.no_grad():
            Q, _ = torch.linalg.qr(self.weight)
            self.weight.data = Q
    
    def forward(self, x):
        return F.linear(x, self.weight, self.bias)

5.6 Laor初始化（2025）

MDPI 2025 提出的新方法，专注于反向传播的稳定性。

核心思想：除了保持前向方差，还需保证反向梯度方差稳定。

$${\sigma }_l=\sqrt{\frac{2}{n_l}}\cdot \sqrt{\frac{\log (n_l)}{\log (n_l+1)}}$$

对数修正项减小了小网络的初始化方差，改善训练初期稳定性。

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六、MLP表达能力的理论分析

6.1 通用逼近定理回顾

定理（Cybenko 1989, Hornik et al. 1989）：

单隐层MLP可以以任意精度逼近任何连续函数：

$$\forall f\in C([0,1{]}^d),\forall ϵ>0,\exists \text{MLP}:\Vert f-\text{MLP}{\Vert }_{\infty }<ϵ$$

但所需宽度可能指数级增长。

6.2 深度vs宽度的表达能力

定理（Telgarsky 2016）：

存在函数 $f:[0,1]\to [-1,1]$，可被深度 $L$、宽度 $O(\log L)$ 的ReLU网络表示，但任何深度 $L/2$ 的网络需要宽度 $\Omega (2^{L/2})$。

深度指数优势：深度 $L$ 的网络表达能力指数级超过深度 $L/2$ 的网络。

6.3 缩放定律与表达能力

关键问题：给定参数量 $P$，深度 $L$ 和宽度 $n$ 如何分配？

总参数：$P={\sum }_{l=1}^L{n}_{l-1}\cdot n_l\approx n^2\cdot L$

最优深度：

$$L^{\ast }\sim \sqrt[3]{P/n_0^2},n^{\ast }\sim \sqrt[3]{P^2/n_0}$$

其中 $n_0$ 是输入维度。

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七、MLP在视觉任务中的极限

7.1 MLP-Mixer vs ViT vs CNN

模型	ImageNet Top-1	关键操作
ResNet-50	76.1%	卷积
ViT-B/16	77.9%	注意力
MLP-Mixer-B	76.4%	纯MLP
ConvMixer	79.4%	深度卷积+MLP

7.2 MLP-Mixer的失效模式

已知问题：

1. 数据效率差：需要更多数据才能匹配CNN
2. 空间结构弱：不能很好处理大尺度平移
3. 对扰动敏感：对抗鲁棒性低于CNN

7.3 增强方法

1. 数据增强：

mlpmixer_transform = transforms.Compose([
    transforms.RandomResizedCrop(224, scale=(0.08, 1.0)),
    transforms.RandomHorizontalFlip(),
    transforms.RandAugment(),
    transforms.ToTensor(),
    transforms.Normalize(IMAGENET_MEAN, IMAGENET_STD),
])

2. 训练正则化：

• Mixup、CutMix
• Dropout in MLP layers
• Stochastic Depth

3. 架构增强：

• 局部MLP（局部窗口）
• 层次化MLP
• Shift操作

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八、缩放定律的实践应用

8.1 训练预算分配

给定计算预算 $C$，如何最优分配模型规模 $N$ 和数据量 $D$？

Chinchilla法则：$N\propto \sqrt{C}$，$D\propto \sqrt{C}$

def chinchilla_allocation(compute_budget, params_per_token=20):
    """Chinchilla最优分配"""
    # 假设每个token的计算量与参数成线性关系
    # C ≈ 6 * N * D (forward+backward)
    # N = params_per_token * D
    
    # 解出 D
    D = np.sqrt(compute_budget / (6 * params_per_token))
    N = params_per_token * D
    
    return N, D
 
 
# 示例
C = 1e20  # FLOPs
N, D = chinchilla_allocation(C)
print(f"最优模型大小: {N/1e9:.2f}B参数")
print(f"最优数据量: {D/1e9:.2f}B tokens")

8.2 缩放曲线拟合

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
 
 
def power_law(x, a, b):
    """幂律函数 y = a * x^b"""
    return a * np.power(x, b)
 
 
def fit_scaling_law(sizes, losses):
    """拟合缩放定律"""
    # 过滤正值
    mask = (np.array(sizes) > 0) & (np.array(losses) > 0)
    sizes = np.array(sizes)[mask]
    losses = np.array(losses)[mask]
    
    log_sizes = np.log(sizes)
    log_losses = np.log(losses)
    
    # 线性拟合 log-log
    popt, _ = curve_fit(power_law, sizes, losses, p0=[1.0, -0.1])
    a, b = popt
    
    return a, b
 
 
def predict_loss(size, a, b):
    """预测给定规模下的损失"""
    return a * np.power(size, b)
 
 
# 示例：多个模型大小的loss
sizes = np.array([1e6, 1e7, 1e8, 1e9])
losses = np.array([4.5, 3.8, 3.2, 2.8])
 
a, b = fit_scaling_law(sizes, losses)
print(f"拟合: L = {a:.3f} * N^{b:.3f}")
 
# 预测更大模型
loss_10b = predict_loss(1e10, a, b)
print(f"10B参数预测loss: {loss_10b:.3f}")

8.3 缩放曲线可视化

import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def plot_scaling_law(sizes, losses, fitted_a, fitted_b):
    """绘制缩放曲线"""
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
    
    # 散点
    ax.scatter(sizes, losses, color='blue', label='实测')
    
    # 拟合曲线
    size_range = np.logspace(np.log10(min(sizes)), np.log10(max(sizes)*10), 100)
    loss_pred = predict_loss(size_range, fitted_a, fitted_b)
    ax.plot(size_range, loss_pred, 'r--', label=f'拟合 L = {fitted_a:.3f} * N^{fitted_b:.3f}')
    
    ax.set_xscale('log')
    ax.set_yscale('log')
    ax.set_xlabel('参数量 N')
    ax.set_ylabel('Loss L')
    ax.legend()
    ax.set_title('神经缩放定律')
    ax.grid(True, alpha=0.3)
    
    plt.savefig('scaling_law.png', dpi=100)
    plt.show()

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九、深度vs宽度的Scaling权衡

9.1 经验法则

Bengio的”深而窄”原则：

def compute_optimal_architecture(total_params, target_complexity):
    """
    给定总参数，确定深度vs宽度的最优分配
    """
    # 参数近似: P ≈ L * n^2 (假设每层宽度n)
    
    # 经验法则：对于固定P，深度L增加（宽度n减少）通常更有效
    # 直到 n 不小于任务复杂度要求的下界
    
    # 例如：
    # P = 10M
    # L=10, n=1000: P=10*1M = 10M ✓
    # L=20, n=700: P=20*490K = 9.8M ✓
    # L=50, n=450: P=50*202K = 10.1M ✓
    
    n = np.sqrt(total_params / target_complexity)
    L = target_complexity
    
    return L, int(n)

9.2 计算FLOPs

对于宽度 $n$、深度 $L$ 的MLP，每个输入的FLOPs：

$$\text{FLOPs}=\sum _{l=1}^L{n}_{l-1}\cdot n_l\approx L\cdot n^2$$

参数量：

$$P=\sum _{l=1}^L{n}_{l-1}\cdot n_l\approx L\cdot n^2$$

9.3 内存FLOPs比

对于Transformer架构，KV Cache 和注意力主导内存：

$${\text{Memory}}_{\text{TF}}\propto n\cdot L\cdot \text{seq\_len}$$

相比之下，MLP的内存是：

$${\text{Memory}}_{\text{MLP}}\propto n^2\cdot L$$

当 $\text{seq\_len}>n$ 时，Transformer内存主导；否则MLP主导。

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十、2026最新研究方向

10.1 概率缩放定律

传统缩放定律假设确定性模型，2026年开始研究概率模型（贝叶斯神经网络）的缩放：

$$p(\mathbf{y}|\mathbf{x})=\int p(\mathbf{y}|\mathbf{x},\theta )p(\theta |\mathcal{D})d\theta$$

关键问题：模型集成是否优于单一大模型？

初步答案：计算预算相当时，集成不如单一大模型。

10.2 跨任务缩放

任务族：

$$\{{\mathcal{T}}_i{\}}_{i=1}^K,K\gg 1$$

多任务缩放定律：

$$L_{\text{avg}}\sim {\left(\sum _i{N}_i^{-{\alpha }_i}\right)}^{\beta }$$

10.3 计算最优架构搜索

结合NAS和缩放定律：

$$\underset{a}{\min }L(a,N,D)\text{s.t.}\text{FLOPs}(a,N,D)=C$$

其中 $a$ 是架构参数。

10.4 理论新结果（2026）

Lyapunov初始化提供严格保证：

任何深度Leaky ReLU网络，使用Lyapunov初始化，可在 $O(\log L)$ 步内达到 $ϵ$-接近平衡态。

这是深度网络可训练性的形式化保证。

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十一、参考资料

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最后更新：2026-06-21

Footnotes

1. Kaplan, J., et al. (2020). Scaling Laws for Neural Language Models. arXiv:2001.08361. ↩

2. Defilippis, L., Xu, Y., et al. (2025). Scaling Laws and Spectra of Shallow Neural Networks in the Feature Learning Regime. arXiv:2509.24882. https://arxiv.org/html/2509.24882 ↩

3. Worschech, R. & Rosenow, B. (2025). Analyzing Neural Scaling Laws in Two-Layer Networks with Power-Law Data Spectra. ICLR 2025. https://proceedings.iclr.cc/paper_files/paper/2025/file/dd92d96ec1a0987562492f5446f6c838-Paper-Conference.pdf ↩

4. Kogler, C., Schwarz, T., & Kittle, S. (2026). Optimal Initialization in Depth: Lyapunov Initialization and Limit Theorems for Deep Leaky ReLU Networks. arXiv:2602.10949. https://arxiv.org/pdf/2602.10949 ↩

5. Lee, H., Kim, T., & Choi, H. (2025). Optimized Weight Initialization on the Stiefel Manifold for Deep ReLU Neural Networks. arXiv:2509.00362. https://arxiv.org/html/2509.00362 ↩